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2018年全国普通高考 文科数学试题及参考答案

来源:四川省地方志工作办公室 发布时间:2019-05-31 13:02:45 浏览次数: 【字体:


2018年四川省高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ)

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.(5分)已知集合A={x|x﹣10},B={0,1,2},则AB=(  )

A.{0}B.{1} C.{1,2} D.{0,1,2} 

2.(5分)(1+i)(2﹣i)=(  )

A.﹣3﹣iB.﹣3+i C.3﹣i D.3+i 

3.(5分)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(  )

991c2a5336534281ae04fe59a754312f.Png

A.B.42cb319e8851427abefcbd833ab41610.Png 

C.D.d986023e81eb462cb8de6257093f91aa.Png 

4.(5分)若sinα=0e0c0fcd87c349299d2f63888e6469de.Png,则cos2α=(  )

A.B.ee7cf0fbd3fc48208df7e39aa13d5911.Png C.﹣9deb9895e6b2401ab04d5da4c749a7be.Png D.﹣86f9d462112542b382560f81a70cc91c.Png 

5.(5分)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为(  )

A.0.3B.0.4 C.0.6 D.0.7 

6.(5分)函数f(x)=656e835d0cf748a7841639d1689430ac.Png的最小正周期为(  )

A.B.7c40d16bd69f41f7b2255150b6409484.Png C.π D.2π 

7.(5分)下列函数中,其图象与函数y=lnx的图象关于直线x=1对称的是(  )

A.y=ln(1﹣x)B.y=ln(2﹣x) C.y=ln(1+x) D.y=ln(2+x) 

8.(5分)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x﹣2)2+y2=2上,则ABP面积的取值范围是(  )

A.[2,6]B.[4,8] C.[5e75e0e34b124367bf827b73dcd5ee13.Png,359bd58329f904b17bd5c28c29ce8ef7a.Png] D.[239ce2da8a86f471d90a45a0be615c0a2.Png,3a6b4d2ac1f3f45d2ae2bdf8495f077da.Png]

9.(5分)函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为(  )

A.B.94c7f79e589b4f1aa1108d5c0bebc59b.Png 

C.D.dd81336b0e594226b6cf8c1e26e9e9d5.Png 

10.(5分)已知双曲线C:2f720f22be9a4c3a9bb5bea4f754fdd2.Png8a4fd57e54824295a04fa7ad57c729ca.Png=1(a0,b0)的离心率为eab2446da9c84964807e39f7f4041d63.Png,则点(4,0)到C的渐近线的距离为(  )

A.B.2 C.7ed02dccbad540679167caeb8bc40d50.Png D.2a4d9e2e6d28c48f5b78ca4405cc2e223.Png 

11.(5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC的面积为b7b628baac7e47fd929d11b3b2b263c5.Png,则C=(  )

A.B.e62b7fea19dd4b8693122d0c914d6159.Png C.9f6506e068cf4fc0b4806b1c2f6e4ec3.Png D.9df177be831e47fd9e79f707d16190eb.Png 

12.(5分)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC为等边三角形且面积为9a24b95e372724c379b110436d3587b90.Png,则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为(  )

A.12B.18dea4370ae846402e9598a8482aa41608.Png C.243fd9ecc9c47a460286915d7f21df32c4.Png D.5464c3d7d33d524fdf848b667794e1bab7.Png 

 

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

13.(5分)已知向量8ee3b9efdf584f149e7759371c6cf46c.Png=(1,2),0edb3577095b4ee9a1ef514e71ea5e25.Png=(2,﹣2),7565bd1018f144ce8e9cecbe3bc13b14.Png=(1,λ).若ce6d0e8a24e548cab1108b332262fd9b.Png(27840c3f30c7946b79bacfaa1d46ed8bc.Png+b76e595d31a241e5952b0b61a2c78029.Png),则λ=     

14.(5分)某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异.为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是     

15.(5分)若变量x,y满足约束条件d46656975c324330be301af1cdb1230f.Png,则z=x+f4c280d737914354990eb8e37d7cdc1e.Pngy的最大值是     

16.(5分)已知函数f(x)=ln(eb4bed3361a749c7aa20beffc77217c2.Png﹣x)+1,f(a)=4,则f(﹣a)=     

 

三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。

17.(12分)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3

(1)求{an}的通项公式;

(2)记Sn{an}的前n项和.若Sm=63,求m.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18.(12分)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人.第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:

9cbf7a2efb5e4c2aa1985c736091ae75.Png

(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由;

(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:

 

超过m

不超过m

第一种生产方式

 

 

第二种生产方式

 

 

(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?

附:K2=ef28685b589a4dfaa3b351840f5ad3ca.Png

P(K2k)

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19.(12分)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧f37869ccbee04c9395db7c8ecdcd3db4.Png所在平面垂直,M是abd73da36f854357b0a197ac83bf35e2.Png上异于C,D的点.

(1)证明:平面AMD平面BMC;

(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC平面PBD?说明理由.

68600a14e2094bbb98960689956edb30.Png

 

 

 

 

20.(12分)已知斜率为k的直线l与椭圆C:a9e4a6f7fc284f4c86c62a009ba85170.Png+e9d0bd53a63745bda151f2d9f73443bd.Png=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m0).

(1)证明:kbfaf4133356b4ee3a91c5313638d0357.Png

(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且51339de4d3524790ae7c999e5d0df787.Png+e2759687a91b4c88ab173c8644f90016.Png+c082e96a7b624ada93af307e6958c3c7.Png=7c783f20454847c288b303d01a85f1e6.Png,证明:2|2219bf4d8eea4101a4591e20846c05e5.Png|=|07fc4b9db9304b77b704f3382ac3fe20.Png|+|7a0020bbbe2145bb8cc1ecc108923f89.Png|

 

 

 

 

21.(12分)已知函数f(x)=6258fb1af78f4c24b448a72ce586ceab.Png

(1)求曲线y=f(x)在点(0,﹣1)处的切线方程;

(2)证明:当a1时,f(x)+e0.

 

 

 

(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)

22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,O的参数方程为2d554ada1bba49d8a0a5979b769d9d7d.Png,(θ为参数),过点(0,﹣5f7e9e03c26d45d99908210f1b798669.Png)且倾斜角为α的直线l与O交于A,B两点.

(1)求α的取值范围;

(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.

 

 

 

 

 

 

 

[选修4-5:不等式选讲](10分)

23.设函数f(x)=|2x+1|+|x﹣1|

(1)画出y=f(x)的图象;

(2)当x[0,+∞)时,f(x)ax+b,求a+b的最小值.

f1e227ad9b85460484ae3ec7a8dc0b31.Png

 


 

2018年四川省高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ)

参考答案与试题解析

 

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.(5分)已知集合A={x|x﹣10},B={0,1,2},则AB=(  )

A.{0}B.{1} C.{1,2} D.{0,1,2} 

 

【考点】1E:交集及其运算.菁优网版权所有

【专题】37:集合思想;4A:数学模型法;5J:集合.

【分析】求解不等式化简集合A,再由交集的运算性质得答案.

【解答】解:A={x|x﹣10}={x|x1},B={0,1,2}

AB={x|x1}∩{0,1,2}={1,2}

故选:C.

【点评】本题考查了交集及其运算,是基础题.

 

2.(5分)(1+i)(2﹣i)=(  )

A.﹣3﹣iB.﹣3+i C.3﹣i D.3+i 

 

【考点】A5:复数的运算.菁优网版权所有

【专题】38:对应思想;4A:数学模型法;5N:数系的扩充和复数.

【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

【解答】解:(1+i)(2﹣i)=3+i.

故选:D.

【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,是基础题.

 

3.(5分)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(  )

70496f59d712494aaeb55e5f9b22cd12.Png

A.B.b2e410464edd49b684c3274ebb5842b3.Png 

C.D.41ea08144afb4d0e828a24149326a936.Png 

 

【考点】L7:简单空间图形的三视图.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;5F:空间位置关系与距离.

【分析】直接利用空间几何体的三视图的画法,判断选项的正误即可.

【解答】解:由题意可知,如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,小的长方体,是榫头,从图形看出,轮廓是长方形,内含一个长方形,并且一条边重合,另外3边是虚线,所以木构件的俯视图是A.

00b95801b9964cd389f47df0af948da6.Png

故选:A.

【点评】本题看出简单几何体的三视图的画法,是基本知识的考查.

 

4.(5分)若sinα=1b5b2d2e961a4f0d8cf51112fc6c5c38.Png,则cos2α=(  )

A.B.9c443a0f710c42248cdbd6d219b6065a.Png C.﹣f01593f37f904c3c8d7b91c1d829783b.Png D.﹣585b8952be404db1bdce0465209dde96.Png 

 

【考点】GS:二倍角的三角函数.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;34:方程思想;4O:定义法;56:三角函数的求值.

【分析】cos2α=1﹣2sin2α,由此能求出结果.

【解答】解:sinα=100b71539d4c48f19896bfb7516d5406.Png

cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×25642d8364664011b640e9f11d5f5c94.Png=d73261a35ac34d178d894fe78d80478a.Png

故选:B.

【点评】本题考查二倍角的余弦值的求法,考查二倍角公式等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.

 

5.(5分)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为(  )

A.0.3B.0.4 C.0.6 D.0.7 

 

【考点】C5:互斥事件的概率加法公式;CB:古典概型及其概率计算公式.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;5I:概率与统计.

【分析】直接利用互斥事件的概率的加法公式求解即可.

【解答】解:某群体中的成员只用现金支付,既用现金支付也用非现金支付,不用现金支付,是互斥事件,

所以不用现金支付的概率为:1﹣0.45﹣0.15=0.4.

故选:B.

【点评】本题考查互斥事件的概率的求法,判断事件是互斥事件是解题的关键,是基本知识的考查.

 

6.(5分)函数f(x)=4aab0917ea6a4d45b3ccf824cafa3611.Png的最小正周期为(  )

A.B.4aafb91cfc0540f1837c6ba9a86141a9.Png C.π D.2π 

 

【考点】H1:三角函数的周期性.菁优网版权所有

【专题】35:转化思想;49:综合法;57:三角函数的图像与性质.

【分析】利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式化简函数的解析式,再利用正弦函数的周期性,得出结论.

【解答】解:函数f(x)=c03a2ed0a17749f3911d55298dac59a0.Png=efd45f36971a4586906b5f412115ec4c.Png=ce19c7ca5c3f44f5abcf43f07e40bd2f.Pngsin2x的最小正周期为9957361c8bee40eb803e755024bdef27.Png=π,

故选:C.

【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式,正弦函数的周期性,属于基础题.

 

7.(5分)下列函数中,其图象与函数y=lnx的图象关于直线x=1对称的是(  )

A.y=ln(1﹣x)B.y=ln(2﹣x) C.y=ln(1+x) D.y=ln(2+x) 

 

【考点】3A:函数的图象与图象的变换.菁优网版权所有

【专题】35:转化思想;51:函数的性质及应用.

【分析】直接利用函数的图象的对称和平移变换求出结果.

【解答】解:首先根据函数y=lnx的图象,

则:函数y=lnx的图象与y=ln(﹣x)的图象关于y轴对称.

由于函数y=lnx的图象关于直线x=1对称.

则:把函数y=ln(﹣x)的图象向右平移2个单位即可得到:y=ln(2﹣x).

即所求得解析式为:y=ln(2﹣x).

故选:B.

【点评】本题考查的知识要点:函数的图象的对称和平移变换.

 

8.(5分)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x﹣2)2+y2=2上,则ABP面积的取值范围是(  )

A.[2,6]B.[4,8] C.[a2324b113f8f49e08be19a6d66b8b069.Png,34c1a9d915cb348cca21a7b5a10ac1899.Png] D.[2721d8c74a39e4b92b2fd9833dbfdd649.Png,3c36dc43222dc449595748c24b6743679.Png] 

 

【考点】J9:直线与圆的位置关系.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;34:方程思想;49:综合法;5B:直线与圆.

【分析】求出A(﹣2,0),B(0,﹣2),|AB|=20153a9c6c9d34e8cb22601824c0d0ca6.Png,设P(2+8ca2bfbb1ab24378beb56e8fb09ea3cf.Pnga00316ce8d55437e89b44854171edeee.Png),点P到直线x+y+2=0的距离:d=bf8937601f5243bdacf91c115cee0c67.Png=872a4bd72eff41d9bc5bb3f8be80efcc.Png[bd5077835a534e4098bfb63e9b25e5a3.Png],由此能求出ABP面积的取值范围.

【解答】解:直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,

令x=0,得y=﹣2,令y=0,得x=﹣2,

A(﹣2,0),B(0,﹣2),|AB|=2017496baed7483dade3ce9ba33f75de.Png=27f82dba8b7774c02904482368faed2d2.Png

点P在圆(x﹣2)2+y2=2上,设P(2+f6601b2c5fe448dfaad480de6ce60aba.Pngad9cba80cca24870938cd97b11978d4d.Png),

点P到直线x+y+2=0的距离:

d=ef760bc9af0a40ae8e142a4456b5dcb5.Png=441088f8d6bd4687b31363815946620f.Png

sin(d51dd75b492b42449b63cbec067c08c6.Png[﹣1,1]d=8db23388dfc64d3c9ca789d59a7e1770.Png[84ccbd498add4debb2dfc909c49449c0.Png]

∴△ABP面积的取值范围是:

[72359af3604e405789d0e8187548da84.Pngce689f1b7734430db89d1097298d584b.Png]=[2,6]

故选:A.

【点评】本题考查三角形面积的取值范围的求法,考查直线方程、点到直线的距离公式、圆的参数方程、三角函数关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.

 

9.(5分)函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为(  )

A.

B.

C.

D.

 

【考点】3A:函数的图象与图象的变换.菁优网版权所有

【专题】38:对应思想;4R:转化法;51:函数的性质及应用.

【分析】根据函数图象的特点,求函数的导数利用函数的单调性进行判断即可.

【解答】解:函数过定点(0,2),排除A,B.

函数的导数f′(x)=﹣4x3+2x=﹣2x(2x2﹣1),

由f′(x)0得2x(2x2﹣1)0,

得xcf94b4b08cac42fdadcf94ac808c1d7a.Png或0x3ec805d091244ddab51ed0aed4adab0b.Png,此时函数单调递增,

由f′(x)0得2x(2x2﹣1)0,

得x0de14ae1df544e0587f52fd4d0678cee.Png或﹣f044f885fa9c40c2a94bac4b47130e20.Pngx0,此时函数单调递减,排除C,

也可以利用f(1)=﹣1+1+2=20,排除A,B,

故选:D.

【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断,利用函数过定点以及判断函数的单调性是解决本题的关键.

 

10.(5分)已知双曲线C:0644671cdffd405a86ffd1e2d1e86e5d.Png6e59ee8844c548ae97206589be477399.Png=1(a0,b0)的离心率为7782feeb6d7c41fca1190e530397bc80.Png,则点(4,0)到C的渐近线的距离为(  )

A.B.2 C.439a66b6ba204a1f9a4bcbfe8add0303.Png D.28f26d62ca66b4ecd8565dcd6111115b8.Png 

 

【考点】KC:双曲线的性质.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;34:方程思想;49:综合法;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】利用双曲线的离心率求出a,b的关系,求出双曲线的渐近线方程,利用点到直线的距离求解即可.

【解答】解:双曲线C:330715448e00432697edd7e3934d8313.Png5415acb262ab4729a18cfc846d7a20ea.Png=1(a0,b0)的离心率为b56ac699025647a0aa6e9463212adc31.Png

可得a51f2911945d41c29b5e44bd45f294d3.Png=2d671e35738940e99a247dea17757674.Png,即:20412543d15e4cad960ebe8e9253a11a.Png,解得a=b,

双曲线C:220c5aa392344d46b70a1ea60bf6991a.Png3a96bf8944884bab9188fb745ede85b0.Png=1(ab0)的渐近线方程玩:y=±x,

点(4,0)到C的渐近线的距离为:c6411193115a4053ba167c7b6329d0ae.Png=24fc821309ba54acdb90ea89a8d497fa0.Png

故选:D.

【点评】本题看出双曲线的简单性质的应用,考查转化思想以及计算能力.

 

11.(5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC的面积为81ec9602ada0403faf33baab3fcd52f1.Png,则C=(  )

A.B.041e740a1e8741eaa604b1056c7b9e3c.Png C.d05ce099d9a345f0afb7c2c59e26147f.Png D.f60353879ad94ac4a04401dfb58e20e7.Png 

 

【考点】HR:余弦定理.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;58:解三角形.

【分析】推导出SABC=adabf5e3870c427a9069925818f35310.Png=af1495311be849409820b9ff45c9b49d.Png,从而sinC=55f84c16276e44e29bcddf5a3a3eda23.Png=cosC,由此能求出结果.

【解答】解:∵△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.

ABC的面积为3d67ac98d70043f8af34ff4c8b1dec21.Png

SABC=72a3ee5de34b424787d8e2e148f41094.Png=3f020bc3659d4ba68161decb25bf69c2.Png

sinC=94204d0aaac8496e8fbe53b70ba6750a.Png=cosC,

0Cπ,C=ed2a40ac62534bbdba1dd423e3facafd.Png

故选:C.

【点评】本题考查三角形内角的求法,考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.

 

12.(5分)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC为等边三角形且面积为91b32df62978c47cbb7f62267aae79733.Png,则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为(  )

A.12B.1888b8d2e03465437694af7b6524fb7dc2.Png C.248cb5ef7889ee4dc7922828ec0b5972a1.Png D.54989f163cd321450790d1aa0db89b4ad9.Png 

 

【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积;LG:球的体积和表面积.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;31:数形结合;34:方程思想;35:转化思想;49:综合法;5F:空间位置关系与距离.

【分析】求出,ABC为等边三角形的边长,画出图形,判断D的位置,然后求解即可.

【解答】解:ABC为等边三角形且面积为9bd2044cb0b514300be0bf471640a9de4.Png,可得5dd08a5400164edc9db229428747f58e.Png,解得AB=6,

球心为O,三角形ABC 的外心为O′,显然D在O′O的延长线与球的交点如图:

O′C=99b55c18e07c40bca1752fe0a3dc8d5a.Png=1256d543df084cdabb69cae58b3a2d4b.Png,OO′=1ca01eeacf0340d5b27426bda3523079.Png=2,

则三棱锥D﹣ABC高的最大值为:6,

则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为:b62a465412e64c799f97a49c54cade65.Png=1838631226d374444fbf5e7e297005ea99.Png

故选:B.

4d8d43425e46480f85fcb9c8fad8b49b.Png

【点评】本题考查球的内接多面体,棱锥的体积的求法,考查空间想象能力以及计算能力.

 

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

13.(5分)已知向量03955aeea1494849a0f8297295792104.Png=(1,2),75227446a3b243819b3aa8129888784e.Png=(2,﹣2),b64432d47c8449a3a7d79d9cfc8fe2ad.Png=(1,λ).若50ab2274e8824356acd1e2c139511f07.Png(2e30dd26279d04886a53e0b9ee3697878.Png+c3600b8139ca4fa5a3976d81f95132c3.Png),则λ= 2db0fd1ef4b04c009cbbb92afe06a960.Png 

 

【考点】96:平行向量(共线);9J:平面向量的坐标运算.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;34:方程思想;4O:定义法;5A:平面向量及应用.

【分析】利用向量坐标运算法则求出6ac9ca3f81b94a668de602fccd746f7d.Png=(4,2),再由向量平行的性质能求出λ的值.

【解答】解:向量df803925a4564b79880c4774ba19addc.Png=(1,2),a0181e05589f4812b5c9ac5d65b508bd.Png=(2,﹣2),

37796c198aa3407abe45f6b17f60fe59.Png=(4,2),

9826651a9ddc4b4a9b9ea4b69e629912.Png=(1,λ),1ff8fa27a3e3415bb7cee99996526b29.Png(22064ce9de0594c18b715d1d55b0d9fef.Png+3407e0b80b97405187ae0b07767cf8df.Png),

48af820fc2cd4f54970583531bdae098.Png

解得λ=6cda05429cb4410ebb62cac4aa6396d2.Png

故答案为:1dd755565a3744f68d79984e42d49abb.Png

【点评】本题考查实数值的求法,考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.

 

14.(5分)某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异.为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是 分层抽样 

 

【考点】B3:分层抽样方法;B4:系统抽样方法.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;38:对应思想;4O:定义法;5I:概率与统计.

【分析】利用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样的定义、性质直接求解.

【解答】解:某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异,

为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,

可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,

则最合适的抽样方法是分层抽样.

故答案为:分层抽样.

【点评】本题考查抽样方法的判断,考查简单随机抽样、分层抽样和系统抽样的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.

 

15.(5分)若变量x,y满足约束条件50de3d691d8f4827b73039a405310ecf.Png,则z=x+e49fd40b0f7e4be8a306a81dd576d82c.Pngy的最大值是 3 

 

【考点】7C:简单线性规划.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;31:数形结合;34:方程思想;35:转化思想;49:综合法;5T:不等式.

【分析】作出不等式组表示的平面区域;作出目标函数对应的直线;结合图象知当直线过(2,3)时,z最大.

【解答】解:画出变量x,y满足约束条件842ddf81288e4c80a14adae8bfeb1bb4.Png表示的平面区域如图:由998c4a2fef2c4e75ac6cd57cb6a0997e.Png解得A(2,3).

z=x+d64f717aac04469aa3e09e1cf571a6ed.Pngy变形为y=﹣3x+3z,作出目标函数对应的直线,

当直线过A(2,3)时,直线的纵截距最小,z最大,

最大值为2+3×db23b892dab64f2fb90738e6cb666323.Png=3,

故答案为:3.

a2cc211c4e8a4b4ba7a81e77bb235e8e.Png

【点评】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值.

 

16.(5分)已知函数f(x)=ln(edfa5c74f9ca4456bab14bf964b069d1.Png﹣x)+1,f(a)=4,则f(﹣a)= ﹣2 

 

【考点】3K:函数奇偶性的性质与判断.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;33:函数思想;49:综合法;51:函数的性质及应用.

【分析】利用函数的奇偶性的性质以及函数值,转化求解即可.

【解答】解:函数g(x)=ln(950706f0e1cb4d89b22283650410f77a.Png﹣x)

满足g(﹣x)=ln(fafd64eb97d740a58300d8e1f9f58da2.Png+x)=2a5e89ec22174dd09e6aa36190bfb3c8.Png=﹣ln(515e482756bb4a4d8e51beea34c8ac40.Png﹣x)=﹣g(x),

所以g(x)是奇函数.

函数f(x)=ln(746f8421eae94e04b57965ba51d4e89e.Png﹣x)+1,f(a)=4,

可得f(a)=4=ln(dfe7bb5ff11a47d3b31153c885fb7724.Png﹣a)+1,可得ln(61ccf194af924a8d91d2097bdc9bad8f.Png﹣a)=3,

则f(﹣a)=﹣ln(f54bd34227a641de9a83c61a5ad4601a.Png﹣a)+1=﹣3+1=﹣2.

故答案为:﹣2.

【点评】本题考查奇函数的简单性质以及函数值的求法,考查计算能力.

 

三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。

17.(12分)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3

(1)求{an}的通项公式;

(2)记Sn{an}的前n项和.若Sm=63,求m.

 

【考点】89:等比数列的前n项和.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;54:等差数列与等比数列.

【分析】(1)利用等比数列通项公式列出方程,求出公比q=±2,由此能求出{an}的通项公式.

(2)当a1=1,q=﹣2时,Sn=08a772b7c23d4539bc924782351763f7.Png,由Sm=63,得Sm=e91f0f215e734762a4811cc02f74699f.Png=63,mN,无解;当a1=1,q=2时,Sn=2n﹣1,由此能求出m.

【解答】解:(1)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3

1×q4=4×(1×q2),

解得q=±2,

当q=2时,an=2n﹣1

当q=﹣2时,an=(﹣2)n﹣1

∴{an}的通项公式为,an=2n﹣1,或an=(﹣2)n﹣1

(2)记Sn{an}的前n项和.

当a1=1,q=﹣2时,Sn=01dcae87f1bb4c448c18fce72722afc6.Png=48c7418af2fd4d9a90b14158b37a4d6a.Png=b0d63eb453cb41f3b32c471b39e06bb5.Png

由Sm=63,得Sm=65374e7ad0e24f46abeb1b7b188895b3.Png=63,mN,无解;

当a1=1,q=2时,Sn=e82c768a1bc04eb49ebcdcfb1f5430f9.Png=726aa8e196ea4ed59af265ff3653cfd5.Png=2n﹣1,

由Sm=63,得Sm=2m﹣1=63,mN,

解得m=6.

【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法,考查等比数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.

 

18.(12分)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人.第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:

442e0bf744c54e4eb2ccdbb0f701e7c3.Png

(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由;

(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:

 

超过m

不超过m

第一种生产方式

 

 

第二种生产方式

 

 

(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?

附:K2=3ada921a460541aeb021f36f75ba46fe.Png

P(K2k)

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

 

【考点】BL:独立性检验.菁优网版权所有

【专题】38:对应思想;4A:数学模型法;5I:概率与统计.

【分析】(1)根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的工作时间较少些,效率更高;

(2)根据茎叶图中的数据计算它们的中位数,再填写列联表;

(3)列联表中的数据计算观测值,对照临界值得出结论.

【解答】解:(1)根据茎叶图中的数据知,

第一种生产方式的工作时间主要集中在7292之间,

第二种生产方式的工作时间主要集中在6585之间,

所以第二种生产方式的工作时间较少些,效率更高;

(2)这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后,

排在中间的两个数据是79和81,计算它们的中位数为m=1183f985f1174c8e8ea1919b33b109ad.Png=80;

由此填写列联表如下;

 

超过m

不超过m

总计

第一种生产方式

15

5

20

第二种生产方式

5

15

20

总计

20

20

40

(3)根据(2)中的列联表,计算

K2=0fb531b6c5764e71aade0a4c797d4668.Png=9d2699b86f4642528e04b5a5525ce123.Png=106.635,

能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.

【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题,是基础题.

 

19.(12分)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧0086e3a425b64c548476a8c0a4d09881.Png所在平面垂直,M是9ede57f7e42b4c5cb09e4e40989a722c.Png上异于C,D的点.

(1)证明:平面AMD平面BMC;

(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC平面PBD?说明理由.

3576822e71974153b69ab6dcea267a19.Png

 

【考点】LS:直线与平面平行;LY:平面与平面垂直.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;31:数形结合;35:转化思想;49:综合法;5F:空间位置关系与距离.

【分析】(1)通过证明CDAD,CDDM,证明CM平面AMD,然后证明平面AMD平面BMC;

(2)存在P是AM的中点,利用直线与平面培训的判断定理说明即可.

【解答】(1)证明:矩形ABCD所在平面与半圆弦60bddebc5e834b699ad8d3f308bfbea8.Png所在平面垂直,所以AD半圆弦4eaf605d96b444969cea4e045f77e4ba.Png所在平面,CM半圆弦6daf771d2022481ea3b6940a2a8fedb6.Png所在平面,

CMAD,

M是d135c8fe479a42f88e3bdd59e99605ce.Png上异于C,D的点.CMDM,DMAD=D,CM平面AMD,CM平面CMB,

平面AMD平面BMC;

(2)解:存在P是AM的中点,

理由:

连接BD交AC于O,取AM的中点P,连接OP,可得MCOP,MC平面BDP,OP平面BDP,

所以MC平面PBD.

e3ec64e7ce5e4cc4b6b93073d305fbfe.Png

【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理以及性质定理的应用,直线与平面培训的判断定理的应用,考查空间想象能力以及逻辑推理能力.

 

20.(12分)已知斜率为k的直线l与椭圆C:24578bd8c91d49a4aaf3d3f15e875328.Png+ab3e2b3807dc46709b7cfc127ae8de65.Png=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m0).

(1)证明:ke60747bfee8f45c1b58aa597fcac4a78.Png

(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且2c5c44f509af4d5e8c9f28d8b0deb1bc.Png+85655b4317724ce99fdb33c040e6af89.Png+42c8202f7f6d4d12a4a927246d133c53.Png=86b332cc78874ab8a215c9b658c7162b.Png,证明:2|1b9964eed23b44729e04ede0e2edfa25.Png|=|031779e4ee2247259ef85631913a47d0.Png|+|ddfb4290a42e499fb30e9a593782ddca.Png|

 

【考点】K4:椭圆的性质;KL:直线与椭圆的综合.菁优网版权所有

【专题】35:转化思想;4P:设而不求法;5E:圆锥曲线中的最值与范围问题.

【分析】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),利用点差法得6(x1﹣x2+8m(y1﹣y2)=0,k=24a5c08eddd54f8a91cc089255179624.Png=﹣4e393af18118459c9f46e0ec7c497ca0.Png=﹣da6f0c25bb4841e8bcff11a638aa54b8.Png

又点M(1,m)在椭圆内,即f9cae71bdce442dd88be1e1287b8d70e.Png,解得m的取值范围,即可得ke3ea9453e79a4f0dbfec68454d1de2ff.Png

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),可得x1+x2=2

e63690f10e1141cfb879f26f4579927d.Png+a0815bb9157a4295abeb68673d37b69d.Png+7fc0f08ffd2c41099f7200441bcbb853.Png=f2799c88a82f4f72829bbc698447ff8b.Png,可得x3﹣1=0,由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣452aedb6de534bfe883f509ad671843e.Pngx1|FB|=2﹣89ed7f85867b40ea8ef8f449a851df0c.Pngx2|FP|=2﹣1d4aff78fab34a42a08b8721c01286c2.Pngx3=33c3f3d6aae149eabddedd627a901556.Png.即可证明|FA|+|FB|=2|FP|

【解答】解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),

线段AB的中点为M(1,m),

x1+x2=2,y1+y2=2m

将A,B代入椭圆C:ac74d414728045b2b39e3b82b14f7215.Png+6300836ea6f74bee9bd63ec30e586f9c.Png=1中,可得

a6b42078e5ed4ef298bbc9e904f9ee06.Png

两式相减可得,3(x1+x2)(x1﹣x2+4(y1+y2)(y1﹣y2)=0,

即6(x1﹣x2+8m(y1﹣y2)=0,

k=b2cfb50ee8e14f429ac5e3ae932feaaf.Png=﹣db0234f35fcc4d7ca7d14ee8a2b380fd.Png=﹣26d1af88c5944716bd11ee605a86e7cc.Png

点M(1,m)在椭圆内,即ee07a22c11a74080a5f2b7a134827cb4.Png

解得0m697ffb91a9e74950b0a11e3f5310ff42.Png

k=﹣d5067fa43dc743c0b10ffbda7049e17a.Png4a4d26f0f7cd4a2396a4285cdfe57e64.Png

(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),

可得x1+x2=2

567bd49b00ae4b2bb0a24c06929c113b.Png+be6cc9d5a30849af83fbce75e35f3550.Png+79b934880f7347959b22b93953b89d47.Png=b01e485737854ba58b973ff0edc37729.Png,F(1,0),x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1=0,

x3=1

由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣7e679ed3d41649cf85e2c49d19a7cd98.Pngx1|FB|=2﹣0d0ea034f6a04fc1ba76f79c236e4079.Pngx2|FP|=2﹣1df96fa657164913b5fe2e55bd14d5d4.Pngx3=eee50c5e66614a68894c0504d16eebb5.Png

|FA|+|FB|=4﹣80c9c22c7d2c48b78be3900bb5497eac.Png

∴|FA|+|FB|=2|FP|

【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用,考查了点差法、焦半径公式,考查分析问题解决问题的能力,转化思想的应用与计算能力的考查.属于中档题.

 

21.(12分)已知函数f(x)=a362a5c6b2534a6dbab2ed7a5f45e332.Png

(1)求曲线y=f(x)在点(0,﹣1)处的切线方程;

(2)证明:当a1时,f(x)+e0.

 

【考点】6D:利用导数研究函数的极值;6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.菁优网版权所有

【专题】35:转化思想;49:综合法;53:导数的综合应用.

【分析】(1)f407861f28dd44f897a81a7243684b98.Png

由f′(0)=2,可得切线斜率k=2,即可得到切线方程.

(2)可得5f16a7edd27547f186bb80a82a9a152c.Png=﹣c573e80bf3d74d87a9d862476f53868a.Png.可得f(x)在(﹣e6d9d5672f9d4be6ada35638da8751f4.Png),(2,+∞)递减,在(﹣99183f0504754e658fadaec596c137c0.Png,2)递增,注意到a1时,函数g(x)=ax2+x﹣1在(2,+∞)单调递增,且g(2)=4a+10

只需(x)a59130468a6349d2bf48da7599c0dc58.Png﹣e,即可.

【解答】解:(1)ab5bb905d9914a2d802cfa8bc49e22e9.Png=﹣6d4633da80d1494a81573adf31469ab8.Png

f′(0)=2,即曲线y=f(x)在点(0,﹣1)处的切线斜率k=2,

曲线y=f(x)在点(0,﹣1)处的切线方程方程为y﹣(﹣1)=2x.

即2x﹣y﹣1=0为所求.

(2)证明:函数f(x)的定义域为:R,

可得10b4c907e4234cf39810c3733e83710c.Png=﹣afd0cd8ec0384ea29022988912fb7fb9.Png

令f′(x)=0,可得f25e365dd2874f189ce4ba579c6fdb0b.Png

当x9412f97cf4284dc5aadc72b64884c07b.Png时,f′(x)0,x745066935cac4a5b92ab5cff7c32ee1b.Png时,f′(x)0,x(2,+∞)时,f′(x)0.

f(x)在(﹣818296bb3f0e400196be3551b6783a7f.Png),(2,+∞)递减,在(﹣573b9018de7e4b9c8c1740088bbc7648.Png,2)递增,

注意到a1时,函数g(x)=ax2+x﹣1在(2,+∞)单调递增,且g(2)=4a+10

函数f(x)的图象如下:

edb7e2487a6d4cfe93da5954d4d0ba72.Png

a1,f05a65f1278a4c13b12ff0134811b1c6.Png,则ecd8699cae24468f95b30c1c27bf9f0d.Png﹣e,

f(x)f33d10d683294a2eb6dba48858ffd397.Png﹣e,

当a1时,f(x)+e0.

【点评】本题考查了导数的几何意义,及利用导数求单调性、最值,考查了数形结合思想,属于中档题.

 

(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)

22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,O的参数方程为3b4cfcd765c7438fbee96dcbeb1dbcb0.Png,(θ为参数),过点(0,﹣6a374a7ea38c40f0ad146554cab27160.Png)且倾斜角为α的直线l与O交于A,B两点.

(1)求α的取值范围;

(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.

 

【考点】QK:圆的参数方程.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;5S:坐标系和参数方程.

【分析】(1)O的普通方程为x2+y2=1,圆心为O(0,0),半径r=1,当α=024088301ea54ae2b412e7afc74cee3c.Png时,直线l的方程为x=0,成立;当αb8f5fa4b2d754e609e8adeebdc5dab0e.Png时,过点(0,﹣643ff56ea89b4f5dbdd5a5792baed184.Png)且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x+aff4aabbe0364ea9aa7bdfca04f2fd95.Png,从而圆心O(0,0)到直线l的距离d=ed186e0d5afe42409ec2c0991abbaec9.Png1,进而求出b65cf6d38bac462faee499519a2ee4a2.Pngdd65aa92a7e7440fa5db107387c8cf9b.Png,由此能求出α的取值范围.

(2)设直线l的方程为x=m(y+845233d39c49470eaeb302ceefc40691.Png),联立1da9b70b866f45b19d52d5096c94f944.Png,得(m2+1)y2+243d3d5df18034577a07f60e5e779cd79.Png+2m2﹣1=0,由此利用韦达定理、中点坐标公式能求出AB中点P的轨迹的参数方程.

【解答】解:(1)∵⊙O的参数方程为e59fee15186a4271a2eac2e686477c5f.Png(θ为参数),

∴⊙O的普通方程为x2+y2=1,圆心为O(0,0),半径r=1,

当α=65843a165b254840be0e67b93ee26686.Png时,过点(0,﹣bc58df6981f740bda20f17dc3f6d5820.Png)且倾斜角为α的直线l的方程为x=0,成立;

当α60cb02f256db492d9f2e5f41485fcd2e.Png时,过点(0,﹣8264264cc7fa4acf9fb263536a22b6d9.Png)且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x﹣ab5a1efc369a4e90a6919639fb549759.Png

倾斜角为α的直线l与O交于A,B两点,

圆心O(0,0)到直线l的距离d=b89ea46db5ca4d58875efa883c6f046a.Png1,

tan2α1,tanα1或tanα﹣1,

6f505c10baf748b88c9aa25ce7c8c8c4.Png4072d1182e3449de91ebd0c793288f36.Png

综上α的取值范围是(e94592c02ccd40e39506d24939501e83.Pngb2f36885a6ec42778177388cad8d1ed1.Png).

(2)由(1)知直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x=m(y+07e0f179ecad439897743d19a2bf932f.Png),

设A(x1,y1),(B(x2,y2),P(x3,y3),

联立47be420dbb4c47d59eb3cc6a207238b3.Png,得(m2+1)y2+2e30a3fa13b4a463d9736635c930cd5d7.Png+2m2﹣1=0,

cb7c4408ef874d70970331ce14409324.Png

b3b3c8392f284ca89349a668cd1bbe18.Png=﹣1d968a464f89493d91430675d8c0cf64.Png+2a2d3f84dd5b84c4387c7c3402f1d871f.Png

dc3188eb4baf4b8281f6806836d9fdbc.Png=f4eb71a4f70b43cf965d01ff1dedabf3.Png503d3f09f4cf474a9ddd873b107db03d.Png=﹣583fef25f8c240ac801e22a7290e89a0.Png

AB中点P的轨迹的参数方程为d71bf4cbfc0d4a99a5e844383a82e7a4.Png,(m为参数),(﹣1m1).

【点评】本题考查直线直线的倾斜角的取值范围的求法,考查线段的中点的参数方程的求法,考查参数方程、直角坐标方和、韦达定理、中点坐标公式等基础知识,考查数形结合思想的灵活运用,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.

 

[选修4-5:不等式选讲](10分)

23.设函数f(x)=|2x+1|+|x﹣1|

(1)画出y=f(x)的图象;

(2)当x[0,+∞)时,f(x)ax+b,求a+b的最小值.

61c47e75befa412387286e6e1132101d.Png

 

【考点】3B:分段函数的解析式求法及其图象的作法;5B:分段函数的应用.菁优网版权所有

【专题】31:数形结合;4R:转化法;51:函数的性质及应用;59:不等式的解法及应用.

【分析】(1)利用分段函数的性质将函数表示为分段函数形式进行作图即可.

(2)将不等式恒成立转化为图象关系进行求解即可.

【解答】解:(1)当x2c9e2f5051d143c3ae3fc236762aca0e.Png时,f(x)=﹣(2x+1)﹣(x﹣1)=﹣3x,

当﹣286c725632754190b619879ff56be99e.Pngx1,f(x)=(2x+1)﹣(x﹣1)=x+2,

当x1时,f(x)=(2x+1)+(x﹣1)=3x,

则f(x)=94948772573e436aacbb390386304166.Png对应的图象为:

画出y=f(x)的图象;

(2)当x[0,+∞)时,f(x)ax+b,

当x=0时,f(0)=20•a+b,b2,

当x0时,要使f(x)ax+b恒成立,

则函数f(x)的图象都在直线y=ax+b的下方或在直线上,

f(x)的图象与y轴的交点的纵坐标为2,

且各部分直线的斜率的最大值为3,

故当且仅当a3且b2时,不等式f(x)ax+b在[0,+∞)上成立,

即a+b的最小值为5.

8e3c29523ba447dfa54344cfba50dcac.Png

3f827e46ed5f41c58d56259a710de14e.Png

【点评】本题主要考查分段函数的应用,利用不等式和函数之间的关系利用数形结合是解决本题的关键.

 

来源: 四川省地方志工作办公室
责任编辑:何晓波
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